L'objectif de ce livre est d’observer le fonctionnement de la justice dans l’arrondissement judiciaire de Mons durant les deux guerres mondiales, face aux douloureuses réalités des collaborations et des résistances avec l’occupant allemand. Lire la suite
L'objectif de ce livre est d’observer le fonctionnement de la justice dans l’arrondissement judiciaire de Mons durant les deux guerres mondiales, face aux douloureuses réalités des collaborations et des résistances avec l’occupant allemand. Les conséquences de ces deux occupations se font sentir dès
le mois d’août 1914 et jusqu’aux dernières suites pénales de l’épuration de la Seconde Guerre mondiale (1961). Au fil de six contributions – deux sur la première guerre, quatre sur la seconde –, occupations et libérations sont abordées comme des réalités vécues au quotidien par des gens ordinaires. Les tensions de la première occupation sont éclairées par les confrontations entre polices
allemandes et espions ou résistants et les poursuites des « inciviques » par des juges en uniforme après l’armistice. À la fin de la seconde occupation, les homicides de vengeance, la prise en charge des collaborateurs juvéniles, l’épuration des sympathisants de l’Ordre Nouveau et le procès de la « bande Chéron », un groupe de rexistes passés à la violence sanglante, dessinent une société clivée
sur le plan économique, social, politique et culturel et soumise à une occupation plus dramatique que la première. Dans une atmosphère de quasi « guerre civile », la justice, qu’elle soit civile ou militaire, est investie d’une mission de rétablissement de l’ordre social et de pacification des comportements.
Determinantal Point Processes and Operators of Integrable Form iii
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Historical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Point processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Traces and determinants of operators . . . . . . . . . . . . . . . xiv
Operators of integrable form and Riemann-Hilbert problems . . xv
Precise definitions and fundamental results . . . . . . . . . . . . . . xix
1 Conditioning of DPPs 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Background and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 DPPs: generalities and main examples . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Marking and conditioning: informal construction and
statement of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Orthogonal polynomial ensembles . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 DPPs with integrable kernels and Riemann-Hilbert prob-
lems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Construction of marked and conditional processes . . . . . . . . 11
1.2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Bernoulli marking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Conditioning on an empty observation . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Conditioning on a finite mark 1 configuration ξ1 . . . . 18
1.3 Number rigidity and DPPs corresponding to projection operators 23
1.3.1 DPPs induced by orthogonal projections . . . . . . . . . 23
1.3.2 Disintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Marking rigidity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 OPEs on the real line or on the unit circle . . . . . . . . . . . . 28
1.4.1 OPEs on the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2 OPEs on the unit circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3 Conditional ensembles associated to OPEs . . . . . . . . 29
1.4.4 Unitary invariant ensembles and scaling limits . . . . . 30
1.4.5 Marginal distribution of mark 0 points with known num-
ber of mark 1 points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Integrable DPPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1 General integrable kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Integrable kernels characterized by a RH problem . . . . 37
2 Jánossy Densities of the Airy Kernel DPP 43
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Preliminaries on Jánossy densities . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Operator preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2 Conditional ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.3 Factorizations of Jánossy densities . . . . . . . . . . . . 58
2.3 RH characterization of Jánossy densities . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.1 RH problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.2 Stark equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.3 Asymptotics as s → +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.4 Proofs of Theorems I and II . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.5 Comparison with inverse scattering for the Stark operator 73
2.3.6 Connection with the theory of Schlesinger transformations 74
2.3.7 Isospectral deformation and cKdV:
proof of Theorem III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3.8 Generalisation to discontinuous σ's . . . . . . . . . . . . 79
2.4 Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.1 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.2 Right tail: XT − 1
3 → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.3 Left tail: X/T → −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.4 Intermediate regimes: −KT ≤ X ≤ MT 1
3 . . . . . . . . 90
3 Asymptotics in Classical Orthogonal Ensembles 95
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Statement of results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.1 Symbols with Fisher-Hartwig singularities . . . . . . . . 99
3.2.2 Symbols with a gap or an emerging gap . . . . . . . . . 102
3.2.3 Gap probabilities and global rigidity . . . . . . . . . . . 105
3.2.4 Possible generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 Proof of Proposition 3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.4 Symbols with Fisher-Hartwig singularities . . . . . . . . . . . . 111
3.4.1 Asymptotics for ΦN (±1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.2 Proofs of Theorem 3.2.1 and Theorem 3.2.2 . . . . . . . 120
3.5 Symbols with a gap or an emerging gap . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.1 Asymptotics for ΦN (±1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.5.2 Proof of Theorem 3.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6 Gap probabilities and global rigidity . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.1 Proof of Corollary 3.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.6.2 Proof of Corollaries 3.2.8 and 3.2.10 . . . . . . . . . . . 129
3.6.3 Proof of Theorem 3.2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Outlook of Further Research 133